这几天一直在写22真题解析的稿子，所以今天来写一下22考研数学真题的解题体验~

先说一下整体的感受，相比2021年的题，今年的难度略微还是有所提升的，在难度设计上更加平衡了，计算量也提高了很多~思考难度上并不是很大，几乎没有像2020年的那种难题。 这种难度的提升其实应该是可以接受的，不会让大家觉得一下子摸不着头脑。

当然，有些题目也是出乎意料的，有让人拍案叫好的出乎意料，也有让人恨得牙痒痒的出乎意料~不过都很正常，每年的真题出来，都是让人出乎意料的，这就是出题老师的高明之处吧。

不过有一种感觉是，自从21年大纲改革，新的真题与旧的真题有一大不同就是，计算量明显提升，尤其是小题，很多小题都是需要一定计算的，而大题的变化相对较少，思考难度上没有太大跨越，计算量上，总体来说略有所提升。 整张卷子的风格就是，更加注重计算了。可能这也是应了考试分析所说的，要坚持标准，出有区分度的题。有一定综合性且有一定的计算量的题，目前看来，是最有区分度的了。

先从题型开始谈。

选择题泾渭分明，考概念的题，几乎都可以秒，但却也有不少实打实考计算的，能用选择题技巧的不多。写解析的时候感触比较大，线代选择题，其实找到答案很容易的，但出于写解析的目的，经常喜欢举反例，找反例其实比找答案要难。这一点其实给我们一个启发，概念，结论要记就一定要记准确，不要模棱两可，在考场上坚定一点直接用是最快的。

填空题相对都比较基本，都是一些需要掌握好的基本计算，有一两道比较值得一提的我稍后会说。

总体来说，解答题的层次拿捏得很好。每道题考得都比较扎实，就像看武侠片武打时那种拳拳到肉的感觉。

数一、数二终于找回了失去的证明题，高数压轴题出得非常好，不落俗套。要注意，它要求证明“充分必要性”，而非仅仅必要性。必要性的证明，其实在2018年的数二、数三真题的选择题当中就出现过了。我当时讲真题，也讲了证明方法，说这道题，也可以出大题，出大题的话，你们可以这样做~~~~

(2018年数学二、三试题)设函数 在上二阶可导，且 ，则(  )

(A)当  时，.

(B)当  时，.

(C)当  时，.

(D)当  时，.

数三没有证明题，都是计算，且是常规计算。但是稍微想吐槽一下，感觉这次数三的解答题有点用力过猛，计算量有些偏大了。

最主要的槽点是第18题。列出算驻点的算式很简单，但是把驻点算出来，要经过重重阻碍，包括但并不限于解这样一个一元二次方程. 用求根公式算，需要会试根，或者，在得到这个一元二次方程前先转化系数。无论是哪种，要在考场上算完其实都蛮考验人的。

再从科目来谈变化。

去年的题总体简单，但是线代和概率题其实相对是比较新的，而高数部分就比较基础，平平无奇。但今年的感觉是，高数部分出得比去年新，更有层次，而线代和概率则偏常规，题量也比较少，体现不出丰富的层次。

下面我们具体来谈谈数一、数二、数三的试卷特点与值得一说的题目。

选择题

数一的选择题的2/7/8/9/10其实都属于偏计算的选择题，其余的相对偏概念，概念清晰的话，解题会比较快，不清晰的话可能会比较费劲。第4题有一些计算，但找对路子的话其实并不复杂。

从这里可以看出，数一对高数、线代的考查偏重于概念部分，对概率的考查主要还是基本定义和计算。

个人觉得第(3)题和第(6)题是出得比较好的题目。

第(3)题，看起来是比较唬人的，其实考的点是复合极限以及数列极限与函数极限的关系。出题老师用了惯用的相似障眼法，让辨别选项之间的关系提高了难度。但这道题的考法在2017年数二是出现过的，应该算是一个升级版。

第(7)题，方程组同解问题。分块矩阵又改头换面地出现了，去年是考秩，今年是考方程组。这里的话，抓住解的概念去做题。出题老师没有套路就是最大的套路。

其余的概念题，像第(5)题，概念清楚的话基本上属于秒杀题。做题和写解析不一样，找到正确答案可能只需要3秒，但是全面解析可能要写30分钟。

第(4)题出得也不错，常规的定积分比大小的题目。做题时要注意观察，首先能看出来和

的比较是容易的，直接泰勒写一写，扔掉小o就可以出结果，保险起见，作差构造不等式也可以。与它们的比较就需要从大处着眼了，与在这里其实是扮演了相似的角色，都不超过2，所以的被积函数是比较明显地大于的，这就拉开了和的差距，反而是很快就能出结果了。

第(9)题是冷门考点切比雪夫不等式有关的题。今年我们的数一模拟题也有一道这个考点的题，不过真题出得比我们的题更加综合一点，考到了平方的均值的估计，所以要用到2阶矩与4阶矩。

第(10)题其实是一道比较恶心的题，计算量不小。

一种办法是直接凑二维正态分布的概率密度.

但这个可能很多同学记不清。

还有一种办法就是直接计算相关系数。先算联合概率密度，然后计算，再算边缘概率密度，得到服从，从而，进一步得到. 这种办法计算量更大。

不论是哪种办法，都不会让人太舒服。

填空题

填空题都是基本计算题。

(11)老生常谈了，函数在一点处的最大方向导数是该点处的梯度的模。这个点我从基础班开始就在强调，一个很好的数一仅有的极值问题出题点，2015年，2019年都考了，这次只考了一道填空题，没有计算量，基本属于送分。当然，这个点，我们今年的模拟题也有一道题。

(12)定积分计算。换元或分部都可以做。

(13)填空题中出得相对难一点的一道题，实际上为二元函数在有边界的平面区域上的最值问题。可能有不少同学在做题时会忽略掉边界上的最值情况导致失分。

(14)函数项级数的收敛域。2021年考了一道函数项级数的收敛域与和函数的解答题，这次又考函数项级数，数一同学的专属福利吗？当然，就解题而言，题目并不难。

(15)好久不见的矩阵运算。

(16)常规的随机事件的概率计算。

解答题

解答题的出法有点像2016年，不过难度上应该是比2016年的数一解答题低的。之所以说像2016，是因为数一很少出现单独考二重积分的题，而2016年考了。

数一的解答题其实也一直在寻求新的出题点，像曲线、曲面积分这一块，19年，20年两年其实都是比较新的面孔，22年这道其实又相对来说反常规。

前两道(17)，(18)是常规题。

第(19)题，是一道好题，平平无奇的曲线积分，只要基础扎实，不要投机取巧走捷径，都能算好，且计算量不大，直接算亦可，用斯托克斯公式亦可。但如果一看到空间曲线积分就只知道“降维”，那可能就要丢分了。那种情况，对不是由平面截出来的曲线不适用。所以，像这种题，还是得把基本方法打扎实了才行。

第(20)题，也是一道好压轴题。这是一道一元微积分的综合题，主要是考凹凸性的充分必要条件。必要性的证明可以用泰勒公式，也可以利用变限积分构造函数不等式，而充分性的证明，要注意到二阶连续导数这个条件，利用连续性与极限的定义来构造反证法的反例。想到这一点，那就不难，但考场上如果审题不清楚，只做了必要性的部分，或者没有能够想到二阶连续导数这个条件的话，就会丢一半分了。如果没有二阶连续导数这个条件，这个命题仍然正确，但证明难度就大大增加了。 这也是出题老师的高明之处。

总体来说，高数部分的解答题，层次是比较分明的，前两道属于基本题，会算就能得分，后两道相对不那么常规，尤其是压轴题，没有套路可言，但是考查范围又全不超过，非常新颖灵活。

线代解答题属于常规题，基本属于2005年数一真题的复刻。

数一的这道线代解答题其实没有数二、数三的新。

概率解答题也是常规题，无非是要由均值(期望)写出概率密度函数，再写似然函数，再算最大似然估计量。其实我都没想过，只有一道概率大题的话，会这样重度考查最大似然估计，毕竟去年都被扔进小题了。。。我之所以会觉得出乎意料，主要是觉得这道题更偏统计，对概率部分考查过少。

数二

选择题

与数一一样，数二的选择题的概念与计算也是基本一半一半，1/3/5/6/8都属于概念题，其余偏计算。

第(6)题和第(7)题数一也考了。分别是数一的第(3)题和第(4)题，就不再多赘述了。

第(1)题主要考无穷小量与符号，这种考法其实只在曾经的数三真题中见过，2013年数三考了一道考含义的题。

第(3)题出得非常好，对一阶导、二阶导的考查很到位，第一次出现了如果举反例需要举二阶导不连续的例子，当然，考场上只需要做对题即可，即用对结论，我们反复强调过，一点处的导数符号不能决定该点附近的函数性质，一阶导符号不能决定单调性，二阶导符号不能决定凹凸性。当然，题目迷惑人的地方就在于，背了这个结论会发现B和D是一样的，该选谁就需要回头注意到二阶导数存在（意味着附近一阶导数连续）这个条件了。

基于这个点，数二的题目其实又出现了重复的考点，就是与高数压轴题当中，充分性的证明要使用极限的定义或者保号性这一点重复了。这是一个小小的遗憾。

第(5)题，带两个瑕点的反常积分审敛，其实这种题应该不能算陌生了，虽然2021年反常积分审敛法才被纳入大纲，但是2010年数一数二考得比这道更难，2016年数一那道也比这道难，以后反常积分审敛可能会更频繁地出现。

偏计算的题目就不再多说了。有具体想了解的同学可以发评论交流。

填空题

数二的填空题就更没有什么新意了，都是计算，会算就能得分，计算能力不太好的话就比较吃亏。

除了第(13)，(16)题的考法可能在近年出现较少外，另外4道都是老熟人了。

第(13)题，上一次考是在1999年数二真题中，考的是不定积分。不过今年数三也出了一道与这道题平行的题，比较之下，数二这道设计的更好些。

(1999年数学二试题) 

(2022年数学三试题)

这类题的一个特点就是方法很基本，但计算起来比较繁琐。我在基础班是仔细讲过的，下面这些基本就是基础班讲的内容。

被积函数为有理函数，形如，其中被积函数的分母为没有实根的二次三项式，分子为一次多项式.

对此类积分，可以拆分为两种基本类型.

(1)

.

(2) 

总而言之，方法都是基本方法，但要能碰到题就能做对，还是需要多动手算多练习。

第(16)题其实也就是计算，虽然以前没考过，但所有考点都是基本考点，就是算起来比较冗长而已，我个人不是很喜欢这样的题。。。不如去年的线代填空题。

解答题

高数部分和数一感觉比较类似，一共5道高数解答题，前3道属于比较基本的，后2道略微拉开差距。

第(20)题是比较综合的多元微分题，第(1)问主要考链式法则的基本运用，第(2)问需要大家会用换元找表达式，这种考法其实在2004年数三真题有一道很类似的填空题。求出表达式后，算极值也是基本计算了。

第(21)题压轴题和数一一样，我就不再重复了。

线代解答题说新也新，说不新也不新。说新是因为这种考法在往年真题中没出现过，说不新是因为其实这种考法很多模拟题已经出过了。其实这种考法是二次型中一种非常经典的问题，在同济线代课后习题中都有出现过。

(同济第六版第五章第30题)证明：二次型在时的最大值为矩阵的最大特征值.

不过我们的模拟题并没有出这个点，我们也出了一个最值，是与正定矩阵有关的>_